二次函数中的一题“十五变”

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通过一个典型的二次函数，遐想出以下几类变式：求函数办模范、用字母暗示出线段的长度、中分角问题、等腰或直角三角形存在性问题、角相配问题、面积比问题、平移问题、翻折问题、旋转问题和新界说问题。文末不错下载学习单，点击“阅读原文”联接联系实质学习的视频。

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01 二次函数布景分析

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布景分析：本题中抛物线与坐标轴的交点为(3,0)和(0,3)，把柄这个罕见性，不错得到∠OBA=∠BAO=45°，由于MP⊥x轴，因此可得到∠QPB=∠MPA=∠BAO=45°，同期跟着点M的认知，点P和点Q也随同认知，而况这三点的横坐标一致，P、Q两点的坐标皆不错用含m代数式暗示。

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02 求二次函数办模范、对称轴和过火坐标

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解法分析：二次函数的办模范中有两个所有未知，把柄题目中提供的A(3,0)，点B（0,3），通过待定所有法完成求解。

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03 用含m的代数式暗示线段PQ的长

解法分析：通过读题、结合图形，不错发现点M、Q、P在归拢条直线上，且直线与横轴是垂直的位置关系，那么直线上整个点的横坐标沟通，即m，点P在线段AB上，是以先求出线段AB所在直线办模范，不错得到点P的坐标，点Q在抛物线上，把柄上一小问中求出的抛物线抒发式，得到点Q的坐标，从而求出线段PQ的长。

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04 二次函数与角中分线

问题1：聚会BM，当BM中分∠ABO，求点M的坐标解法分析：在两条直线平行的布景下，一个角的角中分线不错构造等腰三角形，在知谈边长的情况，通过列方程，求解。

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除了上述应用角中分线+平行线→等腰三角形的模子外，还不错应用以下三种表情求解：设施1应用角中分线的性质定理，过点M作MN⊥AB，应用OM+MA=3求出m的值；设施2应用∠OAM=22.5°，应用22.5°罕见角的正切值求解，然而需要推导出22.5°的遐想进程；设施3应用角中分线分线段成比例定理，亦然需要阐发的。

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       问题2： 聚会BQ、AQ，当QM中分∠BQA，求点M的坐标

解法分析：已知中分和垂直，则联念念“等腰三角形三线合一”，延迟QB交x轴。此时构造了一组A型基本图形，应用比例线段求解。除了下图所示设施外，还不错过点B作QM的垂线，应用tan∠BQP=tan∠AQM求解。

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05 罕见三角形的存在性

问题1：聚会BQ，若△BPQ为直角三角形，求点M的坐标解法分析：已知∠QPB=45°，因此，若▲PBQ为直角三角形则有两种情况，即∠BQP=90°或∠PBQ=90°，此时把柄对称性或等腰三角形的性质，不错求出点M的坐标。

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问题2：聚会BQ，若△BPQ为等腰三角形，求点M的坐标解法分析：当▲PBQ为等腰三角形时，从等腰三角形图形特征启航，两个边相配，但不成细则具体是哪两个边相配，因此需要分类盘问，以点Q为顶角的过火，以点B为顶角的过火，以点P为顶角的过火，在进程中，热心罕见角45度。

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06 角相配问题

问题：聚会OP，当∠BOP=∠PBQ时，求点M的坐标解法分析：通过图像发现直线PM∥y轴，得到∠BPQ和∠OBA这一双内错角相配，把柄不异三角形的判定定理1，得到▲OBP与▲BPQ不异，借助不异三角形性质，对应线段成比例，从而求出m，便可求出PQ的线段的长度。

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07 面积比问题

问题1：△BPQ面积是▲OPM面积的两倍，求点M的坐标.解法分析：这两个三角形是等高的，因此这两个三角形的面积之比即是底之比。

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问题2：记抛物线与x轴的另一个交点为C，聚会CQ、AB，若CQ与AB的交点为N，用含m的代数式暗示△BNQ和△ANQ的面积比。解法分析：这两个三角形的面积比即是底之比，即求BN:AN的值。然而若用距离公式遐想，会靠近含根号无法开方的情况。因此不错通过作平行线鼎新线段之比。在遐想的进程中，触及到求直线CQ的办模范大概求解交点坐标N，这皆对遐想有着较高的条目。

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08 翻折问题

问题：点Q沿着AB翻折到Q′，若Q′是在抛物线对称轴上，求点M的坐标解法分析：通过∠BPQ=45°，不绝热心罕见角45度，把柄翻折的性质，对应角相配，对应边相配，是以∠QPQ'=90°，PQ=PQ'，因为点在抛物线对称轴上，从而得解。

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09 平移问题

问题1：将抛物线沿抛物线对称轴向下平移n个单元，使原抛物线过火D落在▲ABO的里面，求n的取值边界.解法分析：通过分析可知，点D落在▲ABO里面时，有两个罕见位置需要热心，即直线x=1与直线AB的交点C和与x轴的交点E，求出交点的纵坐标即可得到平移的距离。

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问题2：抛物线过火D为(1,4)，抛物线对称轴交线段AB于点E，将抛物线先向左平移1个单元，再向下平移n个单元，使点K落在线段OB上，新抛物线与原抛物线对称轴交点为点H，聚会HK.若四边形BKHD的面积为3，求n的值.

解法分析：通过分析可知，先把柄题意画出平移后的抛物线图像，然后用含n的代数式暗示点K、点H的坐标，暗示BK、DH的长度，暗示四边形的面积，从而求得n的值。

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10 旋转问题

问题：记原抛物线M的过火为D，将抛物线M向下平移t个单元(t>0)，得到抛物线N，记抛物线N的过火为E，再把点D绕点E顺时针旋转135°，得到点F，若点F在抛物线N上，求t的值.解法分析：画出平移后的抛物线图像，把柄旋转的性质画出点F，继而通过过点F作DE的垂线得到∠MEF=∠EFM=45°，从而用含t的代数式暗示出点F的坐标，代入平移后的抛物线即可求出t的值。

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11 圆中位置关系

问题：记抛物线与x轴的另一个交点为C，聚会CQ，若CQ与y轴的交点为F，以CF为半径的圆C和与以BQ为半径的圆Q外切，求点Q的坐标.解法分析：把柄两圆外切，可知圆心距CQ=CF+BQ，同期可知CQ=CF+FQ，从而得到BQ=FQ，进而过点Q作y轴的垂线，应用等腰三角形的三线合一定理以及X型基本图形建树线段间的比例关系。

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12 新界说问题

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解法分析：把柄题意，可得  ， 继而得 ，因此本题的难点在与何如合理取点画出函数的简短图像。通过不雅察办模范可知该新函数的界说域为x≠0，而  的图像在x>0和x≤0时的变化趋势是不同，因此在取点时需要接头x>0和x<0时两个边界。

同期发现当x>0时，在x=1处获取函数的最小值，即最低点。而在0<x<1和x>1时的变化趋势不同；当x<0时，跟着x越来越小，函数值越来大，结合感性分析，再借助列表描点的设施不错简短细则函数图像，继而分析其性质。

由于本题是填空题，也不错应用罕见值法代入的表情进行判断。

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附

二次函数中旋转和翻折变化

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当抛物线绕原点和过火180°旋转时，启齿场地、过火坐标、办模范又会何如变化呢？让咱们先来不雅察下旋调度换后函数图像的变化：

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通过不雅察图像，咱们发现：当图像对于原点旋转180°时，启齿场地更正，过火横、纵坐标变为相悖数；当图像对于过火180°旋转时，启齿场地更正，过火横、纵坐标不变。因此归纳如下表格：

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当抛物线对于x轴、y轴翻折时，启齿场地、过火坐标、办模范又会何如变化呢？让咱们先来不雅察下翻折变换后函数图像的变化：

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    通过不雅察图像，咱们发现：当图像对于y轴翻折时，启齿场地不变，过火横坐标变为相悖数，过火纵坐标不变；当图像对于x轴翻折时，启齿场地更正，过火横坐标不变，过火纵坐标互为相悖数。 

        因此归纳如下表格：

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